Saçlı Top Teoremi ve Topoloji

Sabah kalktınız ve saçınızı şekle sokmakta yine mi zorlanıyorsunuz? Matematik der ki, “zorlanmakta haklısınız çünkü hiçbir zaman saçlarınızı aynı yönde şekle sokamazsınız!”

Yüzeyi tüyle kaplanmış bir tenis topu hayal edin. Şimdi tüm bu tüyleri, yüzeyi kaplayacak şekilde aynı yönde taramaya çalışın. Ne kadar uğraşırsanız uğraşın, tüylerden bir tanesi her zaman yukarı kalkacak ve diğer tüylerle aynı yönde olmayacaktır. Matematikte bunun ismi “Hairy Ball Theorem” yani Saçlı Top Teoremidir. Evet, Teoremin ismi gerçekten de saçlı bir toptan yola çıkılarak verilmiştir!

https://www.youtube.com/watch?v=B4UGZEjG02s

Topoloji, geometrik şekillerin uzunluklarının veya açılarının önemsenmediği, sadece şekillerinin ve yüzeylerinin incelendiği matematiğin dallarından biridir. Hatta topolojistler için yapılan en eski şakalardan biri “kahve kupası ve çörek arasındaki farkı bilmeyen insanlar” oldukları şeklindedir. Çünkü topolojide bir nesnesin aktüel şekli önemli değildir. Kahve fincanı ve çöreğin ikisi de hamurdan yapılmış olsa, temel özelliklerini değiştirmeden birini diğerine dönüştürebilirsiniz.

https://www.youtube.com/watch?v=4iHjt2Ovqag

Topolojinin bir teoremi olan Saçlı Top Teoremi aslında şunu der; bir küreye dönüştürülebilen herhangi bir şekil için, eğer bu şekil tamamen saçla kaplanmışsa yani 'sürekli vektör' alanı varsa, saçın her zaman dik durduğu bir nokta olacaktır. Yani 'sürekli vektör' alanına teğet duran bir vektör alanı, 'sıfır vektör' alanı bulunacaktır. Şeklin küre olması gerekmez, dediğimiz gibi topolojik olarak küreye dönüşebilen her şekil için bu geçerlidir. Örneğin; kivi, muz, yastık, hindistancevizi, …

Peki bu teorem gerçekte nerde kullanılır ve bize neyi ifade eder? Teoreme göre, Dünya'da her zaman rüzgârın esmediği bir nokta olduğudur. Rüzgarların bir yönü ve şiddeti (büyüklüğü) vardır. Yönü ve büyüklüğü olan objeler fizikte vektörel olarak tanımlanır. Bu nedenle Dünya üzerindeki rüzgarları vektörel alan şeklinde tanımlayabiliriz. Böylece teoreme göre bu vektör alanın mutlaka sıfır olduğu bir vektörel alan bulunmaktadır. Yani bu demektir ki bir yerde rüzgârın şiddeti sıfırdır yani hiç rüzgâr esmiyordur.

Bu teoreme göre yine her zaman bir yerlerde rüzgâr esiyor olmalıdır. Hatta rüzgârın esmediği noktanın çevresinde onu çevreleyen bir kasırga, tayfun, siklon, tropikal fırtına bulunmalıdır. Aşağıdaki resimden tam anlamıyla nasıl olduğunu görebilirsiniz.